ТРЕХПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ БИФУРКАЦИОННАЯ ЗАДАЧА О ПРОГИБЕ УДЛИНЕННОЙ ПЛАСТИНЫ
В СВЕРХЗВУКОВОМ ПОТОКЕ ГАЗА 

Бадокина Татьяна Евгеньевна, ассистент, кафедра фундаментальной информатики, Мордовский
государственный университет имени Н. П. Огарева (Россия, г. Саранск, ул. Большевистская, 68), badokinate@gmail.com

517.988.67 

Актуальность и цели. Задачи аэроупругости, являющиеся по существу бифуркационными, начали изучаться в конце 30-х гг. прошлого века, однако для их исследования методы теории бифуркаций не применялись. В работе предложен прием, позволяющий исследовать дивергенцию удлиненной пластины в сверхзвуковом потоке газа с соответствующим нелинейным обыкновенным дифференциальным уравнением четвертого порядка, зависящим от бифуркационных в точной постановке. В работе исследуется краевая задача для дифференциального уравнения четвертого порядка, описывающая статическую потерю устойчивости при обтекании упругой пластины сверхзвуковым потоком газа. Предлагается алгоритм, позволяющий исследовать в точной постановке задачу о дивергенции тонкой гибкой упруго опертой удлиненной пластины, сжимаемой (растягиваемой) внешними краевыми усилиями, подверженной малой нормальной нагрузке. Зависимость дифференциального уравнения от бифуркационных параметров выражается через корни соответствующего характеристического уравнения линеаризованной задачи, которые вычисляются с любой степенью точности. Такое представление позволяет найти критические бифуркационные поверхности и кривые, в окрестности точек которых строится асимптотика разветвляющихся решений в виде сходящихся по малым параметрам отклонения бифуркационных параметров от их критических значений. Таким образом, мы определяем соответствующие малые по норме функциональных пространств решения, в отличие от многих работ, дающих либо качественную картину решений, либо применяющих сеточные методы.
Материалы и методы. Метод Ляпунова – Шмидта теории ветвления решений нелинейных уравнений впервые применен к задачам о дивергенции удлиненной пластины в сверхзвуковом потоке газа. Фредгольмовость линеаризации доказывается построением функций Грина, которое для задач такого типа выполнено впервые.
Результаты. Исследована задача о дивергенции удлиненной пластины в сверхзвуковом потоке газа, описываемая нелинейным обыкновенным дифференциальным уравнением четвертого порядка, зависящим от бифуркационных параметров. Определены критические многообразия, в окрестностях точек которых стоится асимптотика разветвляющихся решений в виде сходящихся по малым параметрам отклонения бифуркационных параметров от их критических значений рядов. Фредгольмовость линеаризованной задачи доказана построением функций Грина.
Выводы. Развиваемые в работе методы позволяют вычислить точную асимптотику ответвляющихся стационарных или осцилляционных решений в моделях аэроупругости в виде сходящихся рядов по малым отклонениям от бифуркационных параметров. 

прогиб пластины, аэроупругость, бифуркация, уравнение разветвления 

1. Вольмир, А. С. Устойчивость деформируемых систем / А. С. Вольмир. – М. : Наука, 1967. – 984 с.
2. Болотин, В. В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости / В. В. Болотин. – М. : ГИФМЛ, 1961. – 339 с.
3. Вайнберг, М. М. Теория ветвления решений нелинейных уравнений / М. М. Вайнберг, В. А. Треногин. – М. : Наука, 1969. – 524 с.
4. Наймарк, М. А. Линейные дифференциальные операторы / М. А. Наймарк. – М. : Наука, 1969.– 528 с.
5. Melnikov, Yu. A. Influence Functions and Matrices / Yu. A. Melnikov. – New York, 1999. – 469 p.
6. Вельмисов, П. А. Метод групповых преобразователей и ветвление решений в двухточечных граничных задачах аэроупругости / П. А. Вельмисов, Б. В. Логинов // Дифференциальные уравнения и их приложения : материалы Междунар. конф. (Саранск, 20–22 декабря 1994 г.). – Саранск, 1995. – С. 120–125.
7. Вельмисов, П. А. Устойчивость пластины в сверхзвуковом потоке газа / П. А. Вельмисов, С. В. Киреев, А. А. Кузнецов // Вестник УлГТУ. – 1999. – № 1. – С. 44–51.
8. Loginov, B. V. Strip-plate divergence as bifurcational problem with two spectral parameters / B. V. Loginov, O. V. Kozhevnikova, A. V. Tsyganov // STAMM – 2004 : Proceedings of International Symposium on Trends in Applications of Mathematics to Mechanics. – Darmstadt, Germany, 2004. – P. 22.
9. Камке, Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям / Э. Камке. – М. : Наука, 1971. – 576 с.